ГБОУ СОШ №149 г. Санкт-Петербурга

Конспект урока

Новикова Ольга Николаевна

2016г.

Тема: "Система показательных уравнений и неравенств».

Цели урока:

образовательные:

обобщить и закрепить знания о способах решения показательных уравнений и неравенств, содержащихся в системах уравнений и неравенств

развивающие: активизация познавательной деятельности; развитие навыков самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.

воспитательные: формирование умений работать самостоятельно; принимать решение и делать выводы; воспитание устремлённости к самообразованию и самосовершенствованию.

Тип урока : комбинированный .

Вид урока: урок-практикум.

Ход урока

I. Организационный момент (1 минута)

Формулировка цели классу: Обобщить и закрепить знания о способах решения показательных уравнений и неравенств, содержащихся в системах уравнений и неравенств на основе свойств показательной функции.

II. Устная работа (1 минуты)

Определение показательного уравнения.
Способы решения показательных уравнений.
Алгоритм решения показательных неравенств.

III . Проверка домашнего задания (3 мин)

Учащиеся на своих местах. Учитель производит проверку ответов и опрос способов решения показательный уравнений и неравенств. №228-231(нечетн)

I V . Актуализация опорных знаний. «Мозговой штурм»: (3 мин)

Вопросы показаны напечатанные листы на партах обучающихся «Показательные функции, уравнения, неравенства» и предлагаются учащимся для устных ответов с места.

1. Какая функция называется показательной?

2. Какова область определения функции y= 0,5 x ?

3. Какова область определения показательной функции?

4. Какова область значения функции y= 0,5 x ?

5. Какими свойствами может обладать функция?

6. При каком условии показательная функция является возрастающей?

7. При каком условии показательная функция является убывающей?

8. Возрастает или убывает показательная функция

9. Какое уравнение называется показательным?

Диагностика уровня формирования практических навыков.

10 задание записать решение в тетрадях. (7 мин)

10. Зная свойства возрастающей и убывающей показательной функции, решите неравенства

2 3 < 2 х ;
; 3 х < 81 ; 3 х < 3 4

11 . Решите уравнение: 3 x = 1

12 . Вычислить 7,8 0 ; 9,8 0

13 . Указать способ решения показательных уравнений и решить его:

После выполнения пары меняются листочками. Оцениваю друг друга. Критерии на доске. Проверка по записям на листах в файле.

Таким образом, мы повторили свойства показательной функции, методы решения показательных уравнений.

Учитель выборочно берет и оценивает работы у 2-3 обучающихся.

Практикум по решению систем показательных уравнений и неравенств: (23 мин)

Рассмотрим решение систем показательных уравнений и неравенств на основе свойств показательной функции.

При решении систем показательных уравнений и неравенств, применяются те же приемы, что при решении систем алгебраических уравнений и неравенств (метод подстановки, метод сложения, метод введения новых переменных). Во многих случаях, прежде чем применить тот или иной метод решения, следует преобразовать каждое уравнение (неравенство) системы к возможно более простому виду.

Примеры.

1.

Решение:

Ответ: (-7; 3); (1; -1).

2.

Решение:

Обозначим 2 х = u, 3 y = v. Тогда система запишется так:

Решим эту систему способом подстановки:

Уравнение 2 х = -2 решений не имеет, т.к. –2 <0, а 2 х > 0.

b)

Ответ: (2;1).

№244(1)

Ответ: 1,5; 2

Подведение итогов. Рефлексия. (5 мин)

Итог урока: Сегодня мы с вами повторили и обобщили знания методов решения показательных уравнений и неравенств, содержащихся в системах, на основе свойств показательной функции.

Ребятам по очереди предлагается взять из ниже представленных словосочетаний выбрать и продолжить фразу.

Рефлексия:

сегодня я узнал(а)...

было трудно…

я понял(а), что…

я научил(а)ся…

я смог(ла)…

было интересно узнать, что…

меня удивило…

мне захотелось…

Домашнее задание. (2 мин)

№ 240-242 (нечетн) с.86

На данном уроке мы рассмотрим решение более сложных показательных уравнений, вспомним основные теоретические положения касательно показательной функции.

1. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция - это функция вида , где основание степени и Здесь х - независимая переменная, аргумент; у - зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции :

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.

2. Решение типовых показательных уравнений

Напомним, как решать простейшие показательные уравнения. Их решение основано на монотонности показательной функции. К таким уравнениям сводятся практически все сложные показательные уравнения.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.

Методика решения:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней.

Перейдем к рассмотрению более сложных показательных уравнений, наша цель - свести каждое из них к простейшему.

Освободимся от корня в левой части и приведем степени к одинаковому основанию:

Для того чтобы свести сложное показательное уравнение к простейшим, часто используется замена переменных.

Воспользуемся свойством степени:

Вводим замену. Пусть , тогда

Умножим полученное уравнение на два и перенесем все слагаемые в левую часть:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его. Получаем:

Приведем степени к одинаковому показателю:

Вводим замену:

Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Решать подобные квадратные уравнения мы умеем, выпишем ответ:

Чтобы удостовериться в правильности нахождения корней, можно выполнить проверку по теореме Виета, т. е. найти сумму корней и их произведение и сверить с соответствующими коэффициентами уравнения.

Получаем:

3. Методика решения однородных показательных уравнений второй степени

Изучим следующий важный тип показательных уравнений:

Уравнения такого типа называют однородными второй степени относительно функций f и g. В левой его части стоит квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.

Методика решения:

Данное уравнение можно решать как квадратное, но легче поступить по-другому. Следует рассмотреть два случая:

В первом случае получаем

Во втором случае имеем право разделить на старшую степень и получаем:

Следует ввести замену переменных , получим квадратное уравнение относительно у:

Обратим внимание, что функции f и g могут быть любыми, но нас интересует тот случай, когда это показательные функции.

4. Примеры решения однородных уравнений

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену: (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни по теореме Виета:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы показательных уравнений

Определение 1

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений будем рассматривать на примерах.

Пример 1

Решить систему уравнений

Рисунок 1.

Решение.

Будем пользоваться первым способом для решения данной системы. Для начала выразим в первом уравнении $y$ через $x$.

Рисунок 2.

Подставим $y$ во второе уравнение:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Ответ: $(-4,6)$.

Пример 2

Решить систему уравнений

Рисунок 3.

Решение.

Данная система равносильна системе

Рисунок 4.

Применим четвертый метод решения уравнений. Пусть $2^x=u\ (u >0)$, а $3^y=v\ (v >0)$, получим:

Рисунок 5.

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:

\ \

Тогда из второго уравнения, получим, что

Возвращаясь к замене, получил новую систему показательных уравнений:

Рисунок 6.

Получаем:

Рисунок 7.

Ответ: $(0,1)$.

Системы показательных неравенств

Определение 2

Cистемы неравенств, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных неравенств.

Решение систем показательных неравенств будем рассматривать на примерах.

Пример 3

Решить систему неравенств

Рисунок 8.

Решение:

Данная система неравенств равносильна системе

Рисунок 9.

Для решения первого неравенства вспомним следующую теорему равносильности показательных неравенств:

Теорема 1. Неравенство $a^{f(x)} >a^{\varphi (x)} $, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

\}